Meetkundige vlakverdeling vormt fascinerende fractaal

Meetkundige figuren, patronen of objecten, die opgebouwd zijn uit delen die min of meer gelijkvormig zijn, worden ook wel fractalen genoemd. Fractalen hebben in het algemeen een oneindig aantal details en bij sommige fractalen zijn motieven zichtbaar die zich steeds kleiner wordend herhalen. Figuren en vormen van fractalen zijn vaak in de natuur terug te bloemkool, bij varenplanten en in de vorm van toevallig verschijnende gelijkvormige wiskundige patronen, bliksem, kustlijnen en riviermondingen.

In fractalen speelt men met harmonie, symmetrie, spiegelingen en patronen.

Met bepaalde geometrische handbewerkingen of digitale bewerkingen kunnen fractalen eenvoudig ontworpen worden. De wiskundige Benoît Mandelbrot (1924-2010) introduceerde in 1975 de term fractaal, afgeleid van het Latijns fractus (gebroken). Eind 19e en begin 20e eeuw werden wiskundige objecten met fractale eigenschappen ontdekt door onder andere de wiskundigen Karl Weierstrass, Niels Helge von Koch, Georg Cantor, Henri Poincaré en Gaston Julia. Een voorbeeld van een kunstmatige fractaal is de zogenoemde zeef van Waclaw Sierpinski, genoemd naar de Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski (1882-1969).

De werkelijke fractaal is oneindig gedetailleerd. Diverse startende basisvormen van fractalen zijn vernoemd naar hun ontdekkers, zoals de Koch kromme, genoemd naar de Zweedse wiskundige Niels Helge von Koch (1870-1924). Inmiddels heeft het fenomeen van de fractalen een plaats veroverd in de wiskunde en wordt ook wel fractaalmeetkunde genoemd, als aanvulling op de klassieke meetkunde. Fractalen spelen met dimensies en zijn ruimtevullende krommen. De fractalen hebben toepassingen in wetenschap, technologie, wiskunde, computerkunst en zijn zichtbaar als kunstige wandversieringen.

Afb. 1 De wereldberoemde en kleurrijke fractaal van de wiskundige Benoît Mandelbrot op het postzegelblokje van Macau, China uit 2005 en de postzegel uit het blokje met een fractaal van Gaston Julia. Afb. 2 Voorbeelden van geconstrueerde fractalen door bekende wiskundigen op postzegels uit Macau.

De methode van het realiseren van fractalen wordt ook toegepast voor het creeëren van virtuele werelden voor bijvoorbeeld vluchtsimulatoren. De Mandelbrot-verzameling en Julia-verzameling zijn de meest bekende verzamelingen van fractalen geworden. Julia-fractalen zijn beschreven door de Franse wiskundige Gaston Julia (1893-1978). Pas na de komst van de computer was het mogelijk fractalen in allerlei uitvoeringen ruim te ontwikkelen en ontstonden er nieuwe perspectieven in wiskundig onderzoek, met als gevolg een verband tussen chaostheorie en fractalen.

Een éénduidige beschrijving voor het verschijnsel van fractalen is lastig te vinden of moeilijk te formuleren. Wij zouden een fractaal willen omschrijven als een meetkundig figuur met een naar binnen gekeerde of een naar buiten gekeerde oneindige vlakverdeling. Binnen de verzameling van de bekende “Bomen van Pythagoras” van de Belgische kunstschilder Jos de Mey (1928-2007) is zichtbaar sprake van het fenomeen van fractalen.

Ook diverse vlakverdelingen in het grafische werk van de Nederlandse graficus M.C. Escher (1898-1972) bevatten meetkundige figuren, die overeenkomen met het fenomeen fractaal, zoals die in de Prentententoonstelling uit 1956. Het bekende open vlakje in het midden van de voorstelling is in het jaar 2000 door Leidse wiskundigen ingevuld op dezelfde wijze als de rest van de prent. Een computeranimatie laat de verbluffende resultaten van die inspanningen zien. In fractalen wordt gespeeld met harmonie, symmetrie, spiegelingen, patronen, ornamenten, draaingen en vlakverdelingen. (Inspiratiebron: WikipediA)