Fractals als fascinerende meetkundige herhalingen

Volgens een algemeen erkende definitie zijn fractals meetkundige figuren met een eindeloze herhaling. In het compacte leerboekje Fractals bespreken de auteurs aan de hand van bruikbare simpele recepten, die aanleiding geven tot complexe meetkundige figuren. Door uitleg van allerlei wiskundige begrippen en methoden geven zij de leerlingen en andere gebruikers van het leerboekje meer inzicht in fractals en hoe de wiskunde daarbij gebruikt wordt. In de inleiding wordt de grillige kust van Noorwegen als voorbeeld genomen om te ervaren dat de werkelijkheid van de kustlengte door het toepassen van wiskundige benaderingen veel langer is dan eerder is gemeten.

Fractals

De kust blijkt bij benadering een fractale kromme te zijn. In de natuur zijn fractals overal aanwezig, bijvoorbeeld in de structuur van een varenblad of van een bliksemschicht. Wiskundig gezien zijn de fractals fascinerende figuren, door de vele mooie magische plaatjes die zij opleveren. De eigenschap zelfgelijkendheid van een fractal wordt wel eens het “Droste-effect” genoemd. Op een pak cacao van Droste staat namelijk een verpleegster met een dienblad in haar hand met daarop een kopje en een pak Droste cacao. Ook op dat pak staat opnieuw de afbeelding van een verpleegster met een dienblad in haar handen waarop een kopje en een pak Droste cacao. En zo gaat dat maar door, totdat de afbeeldingen voor het menselijk oog niet meer waar te nemen zijn.

Dit Droste-effect is een inspiratiebron voor wiskundigen en veel liefhebbers van kunst en wetenschap.
Het boekje geeft meerdere voorbeelden en staat boordevol met interessante opgaven.
In de belangstelling staan tevens de symmetrische boom van Pythagoras, waardoor ook de bekende Belgische kunstschilder Jos de Mey zich in zijn aantrekkelijke en fascinerende kunstwerken liet inspireren.

Een reclamebord voor Droste cacao.

In de nabeschouwing van het leerboekje uit de Zebra-reeks voor leerlingen van het VWO en andere belangstellenden voor de wiskunde en wiskundige toepassingen is er tevens aandacht voor het baanbrekende werk van de Franse/Poolse wiskundige Benoît B. Mandelbrot (1924-2010). Hij is grotendeels verantwoordelijk voor de huidige interesse in fractals en liet zien dat fractals op een groot aantal verschillende terreinen kunnen worden toegepast, zowel in de wis- als in de natuurkunde. Zijn on-
derzoek bouwt voort op het voorafgaande werk van Gaston Maurice Julia. De computer en speciale software hebben een belangrijke rol gespeeld bij de ontwikkeling van de wiskunde over fractals. Het is nu mogelijk om structuren zichtbaar te maken waarvan wij de aanwezigheid niet zouden vermoeden.

ISBN 978-90-5041-0687, “Fractals”, Igor Hoveijn en Jan Scholt-meijer, Epsilon Uitgaven, 2004 (2e druk),
58 pagina’s.